Nous disions que la construction des nombres réels a été longue et fastidieuse. Elle a entraîné avec elle un effort de rigueur et la nécessité de penser les autres ensembles de nombres comme les entiers relatifs et les fractions.

Les entiers naturels $ \mathbb{N}=0,1,2,3\dots $ portent ce nom car il semble venir de notre environnement immédiat. Ceux qui les suivent (dans l'ordre de la rencontre), les entiers relatifs : $$ \mathbb{Z}=\dots -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\dots $$ paraissent être obtenus en multipliant les nombres entiers par $ -1 $.

Mais la construction moderne de $ \mathbb{Z} $ est plus difficile. On constate que l'équation $ x+b=a $ n'a pas de solution entière (au sens entier naturel) si $ b\ge a $. On considère alors l'équation elle-même, notée $ \left( a,b\right) $ comme un nouveau nombre. Elle représente l'entier relatif $ a-b $ et deux couples sont dit équivalents lorsqu'ils sont solutions de la même équation.

Cette approche consiste à voir le nombre comme une équation, et non comme une limite. C'est un point de vue algébrique, alors que l'autre est "analytique". Revenons alors à notre étrange résultat :  $$ 0,999\dots = 1 $$

Posons : $ x=0,999\dots $ Nous remarquons alors que : $$ 10x=9,999\dots=9+x $$

Et l'équation $ 10x=9+x$ devient après simplification $ 9x=9 $ dont la solution est : $$ x=1$$